OBJETIVO DE APRENDIZAJE

OBJETIVO DE APRENDIZAJE:

·         Simplificar expresiones radicales numéricas y algebraicas.

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En el mundo de los radicales y las potencias existen multitud de conceptos que hasta ahora eran desconocidos. Si ya sabías lo que era una raíz cuadrada, ahora subimos un poco el nivel de dificultad para trabajar con un tipo de raíces más complicadas. ¿Aún no conoces los radicales? Aquí descubrimos la definición de radical y sus características.

¿Qué es un radical?

El concepto de radical se utiliza para denominar la operación de extraer raíces de un número. Los radicales o raíces, son expresiones matemática en las que la raíz n-enésima de a es igual a b, y b elevado a n da como resultado a.

La radicación es la operación contraria a la potenciación. Si en una potencia multiplicamos el mismo número varias veces, calculando la raíz buscamos un número que multiplicado por sí mismo nos de el número que poseemos dentro del radical.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Las expresiones radicales son expresiones que incluyen un radical, el cual es el símbolo de radicar una raíz. Existen muchas formas de expresiones radicales, desde simples y familiares, como , hasta complicadas como  . En cualquier caso, podemos usar lo que sabemos de los exponentes para entender dichas expresiones.

EL RADICAL

EL RADICAL

Un radical es un símbolo matemático usado para representar la raíz de un número. Veamos un ejemplo rápido: La frase "La raíz cuadrada de de 81" esta representada por la expresión radical

 . (En el caso de las raíces cuadradas, expresión comúnmente acortada a  nota la ausencia del pequeño "2" ). Cuando encontramos  estamos encontrando el numero no negativo  r  tal que , el cual es 9.

Mientras que las raíces cuadradas son probablemente el radical mas común, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces quintas, o cualquier otra raíz enésima de un número. La raíz enésima 

de un número puede ser representada por la expresión radical .

 Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por ejemplo, sabemos que 9² = 81 y  = 9. Esta propiedad puede ser generalizada a todos los radicales y exponentes: para cualquier número, x, elevado al exponente n para producir el número y, la raíz enésima de y es x.

Podemos representar esta propiedad como: . Aunque hay que tener en cuenta: es siempre válida si x ≥ 0, y si n es impar. Pero es inválida cuando x < 0 y n es par.

¿Por qué sucede esto? Es porque elevar cualquier número, positivo o negativo, a una potencia par tiene el efecto de hacer el nuevo número positivo. Este no es el caso con los exponentes impares. Por ejemplo, piensa en sustituir x = -3 y n = 2 en la fórmula de arriba.

El radical se escribiría como , que resulta , o 3. Pero nuestro valor inicial de x era -3, por lo que nos resulta la declaración 3 = -3. ¡Esto es falso!

SACANDO EL EXPONENTE RADICAL

SACANDO EL EXPONENTE RADICAL

Cuando se trabaja con exponentes y radicales:

·         Si n es impar, .

·         Si n es par, . (El valor absoluto es debido a que si x es negativa y elevada a una potencia par, el número será positivo, al igual que la raíz enésima del número.)

Nota que esto nos resulta en dos casos para cuando n es par:

·         Si x ³ 0 y n es par, .

·         Si x < 0 y n es par, .

TRABAJANDO CON RADICALES

TRABAJANDO CON RADICALES

Calcular la raíz cuadrada de un número requiere que hagamos una factorización. Tenemos que encontrar el número que al ser multiplicado por sí mismo produzca el número que tenemos.

Si nos pidieran encontrar , por ejemplo, probablemente nos vendría a la mente que 16 = 4² = 4 • 4. Mira — acabamos de factorizar 16 en 4 • 4.

La factorización es la clave para simplificar expresiones radicales. Si entendemos los exponentes como una multiplicación repetida, podemos pensar sobre los radicales de la misma manera — aunque la forma en la que pensamos sobre una multiplicación repetida bajo el signo del radical puede ser un poco diferente a lo que estamos acostumbrados.

Vamos a explorar esta idea de factorizar usando la expresión radical . Podemos leer esto como "la raíz cúbica de 125." Para simplificar esta expresión, buscamos un número que, cuando se multiplique por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), resulte 125. Factoricemos 125 y veamos si podemos encontrar ese número.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

EJEMPLO:

Problema                        

                                          125 termina en 5, por lo que sabemos que 5 es un factor. 

                                                              Expandimos 125 como 5 • 25.

                                          Factorizamos 25 como 5 y 5.

                                             Encontramos los factores: 5 • 5 • 5, o 5³

Solución                                  5

Los factores primos de 125 son 5 • 5 • 5, los cuales pueden ser reescritos como 5³. La raíz cúbica de un número al cubo es el número mismo, entonces . Hemos encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que equivalen a 125.

125 se considera un cubo perfecto. Esto significa que la raíz cúbica de 125 es un entero. De manera similar, 81, 64, y 49 son cuadrados perfectos, porque sus raíces cuadradas también son números enteros (9, 8, y 7, respectivamente).

Todas las raíces pares (raíz cuadrada, raíz cuarta, raíz sexta, etc.) son números positivos. Por ejemplo,  y  deben ser positivos. Esto significa entonces, que las raíces pares existen sólo para números positivos. Un radical como  es imposible de evaluar, porque ningún número multiplicado por sí mismo produciría -25.

Las raíces impares (raíz cúbica, raíz quinta, raíz séptima, etc.) son una cosa diferente. Podemos encontrar una raíz impar de un número negativo, como . Esta expresión radical se simplifica como -2 porque -2 • -2 • -2 = -8.

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS

Encuentra la raíz cuadrada de 324.

A) 16

B) 18

C) 21

D) 162

Respuestas 

A) Incorrecto. 16² = 256. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factorizamos 324 y buscamos pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 18². La respuesta correcta es 18.

B) Correcto.  = 18. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 18².

C) Incorrecto. 21² = 441. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factorizamos 324 y buscamos pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 18². La respuesta correcta es 18.

D) Incorrecto. 162² = 26,244. Dividiendo 324 entre 2 no resultará en la raíz cuadrada del número; intenta factorizando 324 y buscando pares de factores comunes. Si factorizas 324, encontrarás que 324 = 2 • 2 • 9 • 9, o 18 • 18. El número 324 también se puede escribir como 18². La respuesta correcta es 18.

EJEMPLO PROBLEMA Y SOLUCIÓN

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Ahora veamos un radical que no es una raíz cuadrada perfecta: . Podemos encontrar la raíz de este radical usando el mismo método que usamos para . Factorizamos el número dentro del radical (también conocido como radicando), 63, buscando pares de factores que se puedan expresar como una potencia. 

EJEMPLO

Problema               

                                   Factorizar 63 como 7 y 9.

                            Factorizar ahora 9 como 3 y 3.

                                

                             Reescribir 3 · 3 como 3²

                                 

                            Separar el radical como el producto de dos factores, cada uno dentro 

                                                     de un radical.

                               Calcular la raíz cuadrada de 3²

                 

Solución                 Rearreglar los términos

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Entonces  es otra forma de escribir . Usamos la factorización así como la idea de que  para simplificar este radical. También usamos otro truco útil — hemos separado los factores dentro del radical en factores individuales, cada uno dentro de su propio radical. A este truco se le conoce como la Propiedad de la Multiplicación de Raíces Cuadradas. Nos permite sacar cuadrados perfectos en la forma de factores que ya no pueden ser simplificados.

VIDEOS

A CONTINUACIÓN DOS BREVES VÍDEOS EXPLICATIVOS: